Sistemas-Dinamicos-II

NOMBRE DEL PROFESOR Jeanett López García
NIVEL ACADÉMICO Y SUBSISTEMA O DISCIPLINA Nivel Superior: FES Acatlán, División de Matemáticas e Ingeniería
ASIGNATURA Sistemas Dinámicos II (noveno semestre de la licenciatura de Matemáticas Aplicadas y Computación)
UNIDAD TEMÁTICA Y CONTENIDOS Unidad 2. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS

2.1 Sistemas dinámicos cuadráticos: las familias cuadrática y logística.
2.3 Rutas al caos.

Unidad 6. FRACTALES

6.1 Conceptos básicos.
6.2 El concepto de dimensión en los sistemas dinámicos.
6.3 Objetos fractales.
6.5 Dimensión fractal.
6.8 Aplicaciones.

POBLACIÓN Alumnos de noveno semestre de la licenciatura de Matemáticas Aplicadas y Computación:
Grupo: 1952; 12 alumnos en clase.
DURACIÓN 12 horas aproximadamente, de las cuales, se trabajarán 3 sesiones de dos horas cada una en el salón de clase normal y 3 sesiones de dos horas en el laboratorio de cómputo. Trabajo extra clase 12 horas.
PROPÓSITOS 1. Propósitos del Plan de Estudios:
El alumno:
• El alumno identificará los concepto de caos y órbitas caóticas y analizará algunos modelos elementales de sistemas dinámicos caóticos.
El alumno identificará el concepto de fractal, extenderá las técnicas geométricas clásicas a la geometría fractal, discutirá los diferentes parámetros que permiten analizar de forma cuantitativa las propiedades de los objetos fractales y resolverá problemas en diferentes disciplinas que puedan caracterizarse como fractales.

2. Propósitos del Profesor con respecto al alumno
El alumno:
• Será capaz de determinar los puntos de bifurcación de las funciones iteradas.
• Será capaz de analizar los valores del parámetro que producen una duplicación del periodo.
Será capaz de representar en dos dimensiones el mapeo logístico, el diagrama de bifurcación y el exponente de Lyapunov correspondiente.
Será capaz de programar en algún lenguaje de programación para la obtención de los dos diagramas: de bifurcación y el de Lyapunov.
Será capaz de entender el concepto de caos determinístico.
Será capaz de identificar dos de las tres rutas al caos.
Será capaz de caracterizar los objetos fractales
Será capaz de calcular la dimensión analítica y numéricamente de objetos fractales.

HABILIDADES DIGITALES Actividad 1: Recopilación de información sobre rutas al caos, incluida la función logística, así como información relacionada con los fractales y su relación con los sistemas dinámicos
Para esta actividad se requiere de:
Nivel 2 (Avanzado)
A. Uso de internet
a. Como fuente de información y recursos:
Aa2.1 Búsqueda eficiente de información en Internet. Revisar la teoría respecto a las diferentes rutas al caos, los fractales y su relación con los sistemas dinámicos.
Definición de palabras clave para la búsqueda. Análisis de los resultados, selección de sitios, exploración, selección y valoración de la información obtenida.
B2.3 Eliminación de información de la memoria temporal después de hacer uso de Internet para transacciones.

Justificación: Para realizar esta actividad el alumno requiere de buscar información; la búsqueda puede ser en libros o en páginas electrónicas, por ejemplo:

• http://classes.yale.edu/fractals/Chaos/
• http://hornacek.coa.edu/dave/(David P. Feldman, Instituto Santa Fe-SFI CSSS, Beijing China, Julio de 2007)
• 2003. Fernández Pérez, C., et al. Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias. Sistemas Dinámicos. Thomson.
• 2008. J López García. Sistemas Dinámicos II. Notas de clase para la Licenciatura en MAC. UNAM.
• 1994. S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley.
• H. Nagashima y Y. Baba. Introduction to Chaos, Institute of Physics Publishing Bristol and Philadelphia, USA, 1992.
• H. Peitgen y H. Jürgens. Chaos and Fractals. Springer-Verlag, USA, 1992

b. Como medio de comunicación:
Ab2.2 Uso de grupos con fines de estudio
Justificación: El alumno precisa de compartir información entre sus compañeros como un proceso facilitador de sus saberes. Por ejemplo
• Uso de Wikis

C. Presentación de información y procesamiento de datos:
a. Procesador de textos
Ca2.1 Manejo avanzado del procesador de textos (opciones de formato, columna, tabla, cuadro de texto, inserción de imágenes desde el disco duro, celular o cámara digital, impresión en ambas caras).

Justificación: El alumno requiere del manejo avanzado del procesador de textos para elaborar documentos para crear la Wiki o plataforma Moodle. Por ejemplo
• Word o PDF
• Google Docs
H. Uso de periféricos:
H2.1 Establecer comunicación de los diferentes dispositivos con la computadora a través del software correspondiente.

Justificación: El alumno debe ser capaz de poder interconectar los diferentes periféricos de un ordenador.

Actividad 2: Generación de los diagramas de bifurcación y Lyapunov con el uso de lenguajes de programación.
Para esta actividad se requiere de:
Nivel 2 (Avanzado)

E. Uso de bases de datos
E2.1 Creación de bases de datos con lenguaje de programación
E.2.1 Creación de bases de datos con software pre-programado.
E.3.1 Creación de programas con lenguaje de programación ad hoc.
F2.2 Exploración y uso básico de software especializado de apoyo a la enseñanza.
Justificación: Para realizar esta actividad el alumno requiere: instalar y aprender a usar algún lenguaje de programación, que le permita generar el diagrama de bifurcación por doblamiento de periodo y del exponente de Lyapunov.
Programación del algoritmo para obtener el diagrama de bifurcación
Programación del algoritmo para obtener el diagrama del exponente de Lyapunov.
Actividad 3: Creación del video sobre fractales y su relación con los sistemas dinámicos.
Para esta actividad se requiere de:
C. Presentación de información y procesamiento de datos:
b. Presentador
Cb2.1 Uso del presentador integrando diversos medios (sonido, música, imágenes, video), ligas a diferentes diapositivas de la misma presentación, a otras presentaciones, archivos o sitios en Internet.
D2.2 Uso de Herramientas como Movie Maker, Audacity, PhotoShop o Adobe Premier (en sus versiones libres)
F2.2 Exploración y uso básico de software especializado de apoyo a la enseñanza (MatLab-Dfield y Pplane, Interactive Differential Equations).

Justificación:
El alumno requiere del manejo del programa “power point” para compartir su experiencia, con sus compañeros de clase.

D. Manejo de medios:
D2.2 Uso de Herramientas como Movie Maker, Audacity, PhotoShop o Adobe Premier (en sus versiones libres)
Justificación: El alumno requiere del uso de estas herramientas para poder elaborar un video.
Muchos son los videos que pueden ser encontrados en la Internet sobre el tema de fractales, sin embargo, en un nivel mayor de profundidad en relación al aparecimiento de tales objetos en una ecuación diferencial o en diferencias ya no es trivial encontrar material serio sobre el tema. Adicionalmente, los mecanismos de aparición en tal sistema dinámico conlleva la necesidad de visualizar algunos experimentos computacionales sobre el comportamiento de las soluciones de ecuaciones en diferencia y diferenciales. Tales experimentos físicos o computacionales sencillos son descritos por gráficas en dos y tres dimensiones y/o diagramas de bifurcación, por lo que el elemento visual y expositivo de diapositivas de dichos gráficos computacionales llevadas a un video será un auxilio para la enseñanza y aprendizaje del tema.

G. Organización y administración de la información:
G2.1 Eliminación de archivos innecesarios (temporales, rastros de virus)
G2.3 Administración de carpetas y archivos (nombres, búsquedas, tamaño, etc.) que permitan compartir la información.
G2.4 Descarga y subida de archivos a una plataforma

Justificación: El alumno debe ser capaz de evitar la contaminación con virus de la red o de cualquier otra fuente, así como de eliminar los archivos temporales para liberar memoria de máquina.

H. Uso de periféricos:
H2.1 Establecer comunicación de los diferentes dispositivos con la computadora a través del software correspondiente.

Justificación: El alumno debe ser capaz de poder interconectar los diferentes periféricos de un ordenador.

MATERIALES Equipo de cómputo y materiales de apoyo
a) Ordenador con una memoria RAM mínima de 512 MB.
b) Acceso a internet.
c) Sistema operativo Windows
d) Navegador Explorer 7 o Mozilla Firefox 3.01.
e) Software para presentaciones electrónicas (power point)
f) Programas para editar imágenes, audio y video.
g) Software para elaborar los programas (Mathematica, Maple, MatLab, C++ y el Interactive Differential Equations)
Impresora Laser
Proyector (cañón)
Pantalla blanca
Salón
Cables de conexión para los diferentes dispositivos
Extensión eléctrica
DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1: Recopilación de información sobre rutas al caos, incluida la función logística.
Actividades que se llevarán a cabo en el salón de clase:
Profesor:
1. Deberá dar la teoría con relación a iteración de funciones y puntos fijos.
2. Establecerá ejemplos numéricos sobre gráficas de funciones cuadráticas, haciendo especial hincapié en la función logística.
3. Mostrará analítica y numéricamente los pasos para crear el diagrama de bifurcación del doblamiento del período (primera ruta al caos), así como numéricamente los pasos y el algoritmo para calcular el exponente de Lyapunov.
4. Al término de la parte teórica y ejemplos prácticos, se le pedirá a los alumnos crear dos Wiki. Una de ellas tratará el tema del doblamiento del periodo y la otra sobre Intermitencia (segunda ruta al caos).
5. El profesor subirá un archivo a la plataforma con presentaciones relativas a la función logística, diagrama de bifurcación y la constante de Feigenbaum, fractales y las principales características de las rutas al caos.
6. El profesor enlazará una página web (Página de Wikipedia y Scholarpedia)
7. El profesor dejará un cuestionario relativo al tema de caos, mismo que deberá ser contestado en la plaraforma Moodle.

Alumno:

• Deberá presentar en el salón de clases los resultados de haber consultado páginas electrónicas, con relación al tema de rutas al caos.
• Aplicará la teoría a resolver ejercicios en clase

Actividades que se llevarán a cabo fuera del salón de clases:
Profesor:
• Revisará los avances de los diferentes equipos en las Wikis.
Alumnos:

• Deberá consultar páginas electrónicas, con relación al tema de rutas al caos.
• Resolverá el cuestionario sobre caos.
• Subirán a la Wiki en equipos de 4 alumnos, material escrito y gráfico sobre el tema “Doblamiento del Periodo” e “Intermitencia”

Actividad 2 Generación de los diagramas de bifurcación y Lyapunov con el uso de lenguajes de programación.
Actividades que se llevarán a cabo en el salón de clase:
Profesor:

1. Les recordará a los estudiantes cómo utilizar algunos lenguajes de programación.
2. Les solicitará a los estudiantes la obtención de composición de funciones en el caso de las cuadráticas y en especial la función logística.
3. Les requerirá a los alumnos programen en el lenguaje que ellos quieran, el diagrama de bifurcación de la función logística y el diagrama del exponente de Lyapunov.
4. Una vez que el programa logre graficar la función logística, les pedirá que suban la información a la plataforma Moodle

Alumno:

• Deberá presentar en el salón de clases los resultados de haber consultado páginas electrónicas, con relación al avance en la programación de los dos diagramas solicitados.
• Aplicará la teoría a resolver ejercicios en clase

Actividades que se llevarán a cabo fuera del salón de clases:
Profesor:
• Revisará que los estudiantes hayan subido los programas y probará que efectivamente hayan logrado obtener los dos gráficos solicitados.
Alumnos:

• Deberá consultar páginas electrónicas, con relación al tema de los dos diagramas: del doblamiento del período y el exponente de Lyapunov para el mapeo logístico.
• Subirán a la plataforma los programas de los dos gráficos solicitados.

Actividad 3: Creación del video sobre fractales y su relación con los sistemas dinámicos.
Actividades que se llevarán a cabo en el salón de clase:
Profesor:

1. Les presentará a los estudiantes, a través de presentaciones en power point, simulaciones en el software: Interactive Differential Equations y Excel, la generación de objetos fractales (atractores extraños) en sistemas dinámicos descritos a través de ecuaciones diferenciales y en diferencia respectivamente.
2. A través de una práctica de laboratorio se les solicitará a los estudiantes la obtención de objetos fractales mediante un software para Sistemas de Funciones Iteradas elaborado por la Universidad de Yale.
3. Se hará una revisión de las propiedades de los objetos fractales, tal como la medida y dimensión.
4. A través de una práctica en el laboratorio de cómputo, se revisará la teoría necesaria para calcular la dimensión fractal a través del método de conteo de caja.
5. Les requerirá a los alumnos una tarea para que generen algunos fractales mediante el software visto en las prácticas de laboratorio. Así como el cálculo de la dimensión fractal de una imagen de la costa de México.
6. Una vez que realicen la tarea del punto 5, se les pedirá que suban la información a la plataforma Moodle
7. Les solicitará a los estudiantes que elaboren un vídeo los fractales generados por sistemas dinámicos
8. Les pedirá que suban el vídeo a YouTube y de ahí lo exporten a la plataforma Moodle.
9. El video se proyectará en clase en un pizarrón blanco.

Alumno:

• Deberá poder aplicar con soltura el manejo de al menos dos algoritmos para generar fractales
• Calculará analíticamente la dimensión fractal de algunos objetos fractales matemáticos sencillos
• Conforme la práctica en el laboratorio de cómputo, el alumno deberá obtener imágenes fractales usando el software para Sistemas de Funciones Iteradas, dada la matriz de transformaciones afines.
• Conforme la práctica en el laboratorio de cómputo, el alumno deberá calcular la dimensión fractal de imágenes fractales con ayuda de un software ad-hoc para ello.

Actividades que se llevarán a cabo fuera del salón de clases:
Profesor:
• Revisará y retroalimentará el material que los estudiantes hayan subido de la tarea sobre la generación de fractales y el cálculo de la dimensión fractal
• Revisará el avance del video usando algunos de los resultados de la tarea y las prácticas de laboratorio.
Alumno:
• Realizarán un vídeo que refleje la relación de los sistemas dinámicos con el surgimiento de comportamientos caóticos y la aparición de objetos fractales (v. gr. el cómo se va desarrollando la función logística al ir variando los valores del parámetro en incrementos ad-hoc, para el diagrama de bifurcación, la mariposa de Lorenz, etc)
• Subirán el vídeo a YouTube y de ahí a la plataforma Moodle.

Productos que obtienen los alumnos:
Los productos finales que los alumnos por equipos de cuatro personas obtendrán son:
• Una wiki sobre la primera ruta al caos: doblamiento de periodo
• Una wiki sobre la segunda ruta al caos: intermitencia
• Un vídeo sobre los fractales y su relación con los sistemas dinámicos
Adicionalmente, por equipos de dos personas harán la entrega de dos programas (en Mathematica, MatLab, Maple, Lenguaje C, o en algún lenguaje similar) que generen: a) el diagrama de bifurcación del doblamiento del período y b) el diagrama del exponente de Lyapunov, ambos para el mapeo logístico.
BIBLIOGRAFÍA PARA EL ALUMNO • Alligood et al. (1997). An introduction to dynamical systems. E.U.A: Springer.
• Banks et al. (2003). Chaos: A mathematical introduction. E.U.A.: Cambridge University Press.
• Devaney, R. (1992). A first course in chaotic dynamical systems. E.U.A.: Addison Wesley.
• Elaydi, S. (2000). Discrete chaos. E.U.A.: Chapman & Hall – CRC.
• Holmgren, R. (1996). A first course in discrete dynamical systems. E.U.A.: Springer.
• Strogatz, S. (2001). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry and engineering. E.U.A.: Perseus.
• Tu, P. (1995). Dynamical systems: an introduction with applications in economics and biology. E.U.A.: Springer.

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA PARA EL PROFESOR • Modelo de madurez en el uso de TIC. Página web de Salón en Línea Hábitat Puma, UNAM. Consultado en red el 24 de noviembre de 2010.
http://www.salonenlinea.unam.mx/habitatpuma/moodlediplomadofes/file.php/64/Modelo_de_Madurez_en_el_uso_de_TIC_A_.pdf